2007年06月
電車で立ちながら
お菓子をほおばりながら
コミックを読んでいる
結構良い歳したおばちゃん。
こんな人だっている。
家から出られない人だって
アニメ好きな人だって。
すべては環境なんだって。
それは間違い。
なんてのはない。
うむ。
これかもしれない。
指数関数・三角関数による定義
複素数 「z」 を変数に取る指数関数を : exp(z) := sum_^ z^k = 1 + z + z^2 + z^3 + cdots で定義する。 exp(0) = 1 となるが、正の実数 「t」 に対し exp(「it」) = 1 を満たす最小の 「t」 を 2&pi として &pi を定義できる(「i」 は虚数単位)。この指数関数を用いて三角関数を : cos(z) = : sin(z) = で定義すれば、正の実数 「t」 に対して cos(「t」) = 0 を満たす最小の 「t」 が &pi /2 であり、 sin(「t」) = 0 を満たす最小の 「t」 が &pi である。すなわち、三角関数の零点によって円周率 &pi が定義される。
積分による定義
: pi := int_^ dx によって定義されることもある。 逆正接関数 arctan(「x」) が : rctan (x) = int_0^ dt と表されることから、この積分は三角関数による &pi の再定義の一種であるとも考えられるが、 この &pi の定義より先に三角関数が定義されている必要はなく、 arctan(「x」) という関数さえも上のような積分によって定義することができる。 arctan(「x」) のテイラー展開 : rctan(x) = sum_^ rac x^ = x - racx^3 + racx^5 - racx^7 + racx^9 - cdots に 「x」 = 1 を代入することによって : rac = 1 - rac + rac - rac + rac - rac + cdots (1400年頃:マーヴァダ、1671年:グレゴリ、1674年:ライプニッツ) という級数が得られる。この級数の収束は極めて遅いが、部分和をとれば &pi の近似値を計算することもできる。 arcsin(「x」)のテイラー展開 : rcsin(x) = x + sum_^ rac rac {x^} = sum^_ rac x^quadmbox |x| < 1 に 「x」 = 1/2 を
代入することで : rac = sum^_ rac{2^ (n!)^2 (2n+1)} が得られる。
円周による定義
平面幾何学において円周の長さを、その直径で割って得られる値は円の大きさに関わらず一定の値を取る。この値を「円周率」といい &pi と書く。円周率の定義から、半径が 1 の円(単位円)においては、その円周の長さは 2&pi である。特に、単位円を表す式 「x」2 + 「y」2 = 1 を考えると、&pi の値は : pi := int_^1 sqrt{1+left(y^ ight)^2} dx = int_^1 {1 over sqrt} dx として積分によって求められる。
面積による定義
&pi を用いると半径 「r」 の円の面積は &pi 「r」2 と表されることから逆に円の面積を求め、その円の半径の平方 「r」2 で割って得られる値を &pi と定義してもよい。単位円の面積は丁度 &pi になることから、積分を使って : pi := 2int_^1 y dx = 2 int_^1 sqrt dx と定めても同じことである。
- 今日:
- 昨日:
- 累計: