円周による定義

平面幾何学において円周の長さを、その直径で割って得られる値は円の大きさに関わらず一定の値を取る。この値を「円周率」といい &pi と書く。円周率の定義から、半径が 1 の円(単位円)においては、その円周の長さは 2&pi である。特に、単位円を表す式 「x」2 + 「y」2 = 1 を考えると、&pi の値は : pi := int_^1 sqrt{1+left(y^ ight)^2} dx = int_^1 {1 over sqrt} dx として積分によって求められる。

 

 

面積による定義

&pi を用いると半径 「r」 の円の面積は &pi 「r」2 と表されることから逆に円の面積を求め、その円の半径の平方 「r」2 で割って得られる値を &pi と定義してもよい。単位円の面積は丁度 &pi になることから、積分を使って : pi := 2int_^1 y dx = 2 int_^1 sqrt dx と定めても同じことである。